Potenciación según sus bases...

Potencias de números enteros


Para determinar el signo de la potencia de un número entero tendremos en cuenta que:

1. Las potencias de exponente par son siempre positivas.

2. Las potencias de exponente impar tiene el mismo signo de la base.

Potencias de exponente negativo
La potencia de un número entero con exponente negativo es igual al inverso del número elevado a exponente positivo.

Propiedades de la multiplicación de números enteros

Propiedades de la multiplicación de números enteros

1. Interna:

El resultado de multiplicar dos números enteros es otro número entero.

a · b

2 · (−5)

2. Asociativa:

El modo de agrupar los factores no varía el resultado. Si a, b y c son números enteros cualesquiera, se cumple que:

(a · b) · c = a · (b · c)

(2 · 3) · (−5) = 2· [(3 · (−5)]

6 · (−5) = 2 · (−15)

−30 = −30

3. Conmutativa:

El orden de los factores no varía el producto.

a · b = b · a

2 · (−5) = (−5) · 2

-10 = -10

4. Elemento neutro:

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque todo número multiplicado por él da el mismo número.

a · 1 = a

(−5) · 1 = (−5)

5. Distributiva:

El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.

a · (b + c) = a · b + a · c

(−2) · (3 + 5) = (−2) · 3 + (−2) · 5

(−2) · 8 = (−6) + (−10)

−16 = −16

6. Sacar factor común:

Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.

Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.

a · b + a · c = a · (b + c)

(−2) · 3 + (−2) · 5 = (−2) · (3 + 5)

Potenciación de números enteros

Propiedades de la división de números enteros

El resultado de dividir dos números enteros no siempre es otro número entero.  
(−2) : 6 no pertenece a los enteros.

No es Conmutativo:
a : b ≠ b : a
6 : (−2) ≠ (−2) : 6



No es una operación interna:

Multiplicación de números enteros

La multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

Regla de los signos

2 · 5 = 10

(−2) · (−5) = 10

2 · (−5) = −10

(−2) · 5 = −10

Multiplicamos y dividimos Números Enteros

Regla de los signos para la división...

Regla de los signos para la multiplicación

Propiedades de la resta de números enteros

Interna:

La resta dos números enteros es otro número entero.

a − b

10 − (−5)

No es Conmutativa:

a − b ≠ b − a

5 − 2 ≠ 2 − 5

Resta de números enteros

La resta de números enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.

a − b = a + (−b)

7 − 5 = 2

7 − (−5) = 7 + 5 = 12

Propiedades de la Suma

Interna:

El resultado de sumar dos números enteros es otro número entero.

a + b

3 + (−5)

Asociativa:

El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.

(a + b) + c = a + (b + c)

(2 + 3) + (−5) = 2 + [3 + (−5)]

5 − 5 = 2 + (−2)

0 = 0

Conmutativa:

El orden de los sumandos no varía la suma.

a + b = b + a

2 + (−5) = (−5) + 2

−3 = −3

Elemento neutro:

El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número.

a + 0 = a

(−5) + 0 = −5

Elemento opuesto

Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero.

a + (-a) = 0

5 + (−5) = 0

El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.

−(−5) = 5

¿Cómo se suman los números enteros?

1. Si los sumandos son del mismo signo, se suman los valores absolutos y al resultado se le pone el signo común.

3 + 5 = 8

(−3) + (−5) = −8

2. Si los sumandos son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le pone el signo del número de mayor valor absoluto.

− 3 + 5 = 2

3 + (−5) = −2

Módulo o valor absoluto de un número entero

Observa la recta numérica y contesta a  las siguientes preguntas:

a) ¿Qué distancia separa el -3 del cero?
b) ¿Qué distancia separa el +5 del cero?
c) ¿Qué distancia separa el -6 del cero?
d) ¿Qué distancia separa el +6 del cero?

El valor absoluto de un número es la distancia que le separa del cero en la recta numérica
Se escribe entre barras tal como se te indica en los siguientes ejemplos:

• el valor absoluto de -5 es 5 y se escribe así:    |-5|= 5
• el valor absoluto de +3 es 3 y se escribe así:    |+3|= 3      

Un poco de historia de los Enteros

Desde hacía mucho tiempo, los chinos utilizaban bastoncillos de bambú o de madera para representar los números y realizar, en especial, cálculos comerciales de una manera práctica, pero también para tratar cuestiones relacionadas con los aumentos y disminuciones de magnitudes, o con distancias recorridas en sentidos opuestos; esos bastoncillos eran negros o rojos según que representaran cantidades positivas o negativas, de acuerdo con una atribución del color que es justamente la opuesta a la empleada en la contabilidad occidental.
Los matemáticos hindúes del siglo VI  mencionan también el uso de números negativos para tratar este tipo de problema. Los antiguos griegos, por el contrario, rechazaron que pudieran existir tales números.
En Europa medieval, los árabes dieron a conocer los números negativos de los hindúes,  que en el siglo XII se utilizaban ya ocasionalmente para designar las pérdidas en el análisis de cuestiones financieras.  Durante el Renacimiento, el manejo práctico de esos números en la contabilidad y otros contextos ayudó a su lenta introducción en las matemáticas.
El alemán Michael Stifel  (1487-1567), monje agustino convertido al protestantismo y amigo personal de Lutero, fue uno de los primeros en admitir el uso de coeficientes negativos para el estudio de las ecuaciones cuadráticas y divulgó el uso del signo menos “―“ para designar la resta; de hecho, los signos + y ― estaban ya en uso  entre los comerciantes alemanes del siglo XV para indicar el exceso o el defecto de mercancías en los almacenes. Con todo, la consideración de las cantidades negativas como correspondientes a números matemáticamente legítimos alcanzó aceptación general hasta el siglo XVIII, cuando los números negativos empezaron a ser entendidos como opuestos de los positivos.
En la matemática moderna el conjunto de los números enteros (Z) abarca todos los enteros tanto negativos como positivos, y llega hasta el infinito hacia ambos lados de una recta numérica, por tanto, en rigor no existe un comienzo, salvo que como tal se considere el CERO (el cual agregado al conjunto de los números naturales forma el conjunto de los Cardinales).

¿Números Enteros?